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モンティ・ホール問題:補足

『モンティ・ホール問題 - Wikipedia』を読んで

 英語版の「Monty Hall problem - Wikipedia, the free encyclopedia」は日本語版のサイトと内容が異なるようだが、私は英語が苦手なので、ここでは日本語版のサイトの方について考察する。

 ここで紹介されているモンティ・ホール問題の解法の問題点ついて前に述べた(参照)。そして、正式な解法と思われるものも前に書いた(参照)。しかし、その後に表計算ソフトを使ってベイズ解が正しいかどうかを確認したら、ベイズ解と同じ結果になったのだが、ふと疑問が生じた。

 表計算ソフトを使ったシミュレーションの方法(セル内の式)は【金の玉はどこだ!問題】の追記に載せたので興味のある方は試して頂きたい。

 モンティ・ホール問題の流れを箇条書きにすると次のようになる。

  1. 当たりのドアが決められる。
  2. プレーヤーがドアを選ぶ。
  3. モンティがプレーヤーが選んだドア以外のハズレのドアを一つ開ける。
  4. プレーヤーが残りのドアから選び直す。
  5. プレーヤーが選んだドアが当たりかどうか判明する。

 モンティ・ホール問題では、4.の段階でプレーヤーが選択を変えるべき否かが問われた。
 私はベイズの定理を使う解法が正しいと思っていたのだが、そのためには3.の段階でモンティの開けたドアが確定する必要がある。しかし、表計算ソフトを使ったシミュレーションでは、モンティが開けたドアは2種類になる。最初から決まっているのではなく当たりのドアとプレーヤーが選んだドアに応じて変わるのだから当然である。プレーヤーがドア1を選んだら、モンティが開けたドアはドア2の場合とドア3の場合の2種類ある。ベイズの定理による解法はドア2かドア3が開いた場合を抽出してプレーヤーがドアを変えない場合や変えた場合の当たりの確率を計算する。もしも抽出せずに計算したら、当然のことであるが、プレーヤーの選んだドア1が当たる確率は変わらない。
 例えば確率の違いが出やすいように変形三囚人問題の確率を使って試してみる。ドア1が当たりの確率が1/4、ドア2が当たりの確率が1/4、ドア3が当たりの確率が2/4で、プレーヤーが最初にドア1を選んで変えなかったことにして1000回繰り返した。2000人のプレーヤーが挑戦してドアを変えなかった半数の1000人のケースを確認したと考えれば良い。するとドアを変えずに当たったのは251回、ハズレは(変えた方が良かったのは)749回になった。すなわち、変えない場合に当たる確率は約1/4でモンティがドアを開ける前と変わっていない。しかし、その中からモンティがドア2を開けた回を抽出すると、ドアを変えずに当たったのは123回、ハズレは(変えた方が良かったのは)484回になった。すなわち、変えない場合に当たる確率は約1/5でベイズ解になる。ちなみに、モンティがドア3を開けた回を抽出すると、ドアを変えずに当たったのは128回、ハズレは(変えた方が良かったのは)265回になった。すなわち、変えない場合に当たる確率は約1/3で、これもベイズ解になる。
 さて、モンティ・ホール問題はドア2が開けられたケースとドア3が開けられたケースを合わせて考えるべきか。それとも、ドア2、あるいはドア3が開けられたことを前提として考えるべきか。ドア2が開けられたケースとドア3が開けられたケースを合わせて考えたら、ドア1の当たる確率はモンティがドアを開ける前と同じになる。それは、ドア2とドア3のどちらかが開けられるのは確実でベイズの定理を利用する必要があるような新たな情報がないのだから、当たり前である。
 ちなみに【金の玉はどこだ!問題】のようなゲームではプレーヤーは司会者が箱を開けた後にベイズの定理を利用して考える必要がある。ただし「司会者はプレーヤーが選んだAに金の玉がある場合に最初からBを開ける予定だった」は想定しない。ベイズの定理を利用する必要があるのは、司会者が開けた箱(と開けなかった箱)に金の玉がある事前確率をプレーヤーが知っている(BとCのどちらが開いたか分かっている)からである。

追記(2006/9/21):
 まだモンティ・ホール問題に囚われているらしい。
 上に書いたことを図で表した。「変形モンティ・ホール問題」の方は変形三囚人問題のベイズ解と異なることが分かる。選択を変えて当たる確率は4/5ではなく3/4である。選択を変えずに当たる確率は1/5ではなく1/4である。

追記(2006/9/22):
 上に書いたことを式で表現すると次のようになる。
 プレーヤーが最初にAを選択したとして、「選択を変えず当たる確率」「選択を変えて当たる確率」は次のようになる。

 選択を変えず当たる確率 = P("-B")P(A|"-B") + P("-C")P(A|"-C")
 選択を変えて当たる確率 = P("-B")P(C|"-B") + P("-C")P(B|"-C")

 P(A|"-B")、P(A|"-C")、P(C|"-B")、P(B|"-C")はベイズの定理の式を代入しても良いが、ベイズの定理の式の前の(分母を展開しない)段階の次の式を代入する。

 P(A|"-B") = P(A)P("-B"|A)/P("-B")
 P(A|"-C") = P(A)P("-C"|A)/P("-C")
 P(C|"-B") = P(C)P("-B"|C)/P("-B")
 P(B|"-C") = P(B)P("-C"|B)/P("-C")

 すると「選択を変えず当たる確率」「選択を変えて当たる確率」は次のようになる。

 選択を変えず当たる確率
= P("-B")P(A|"-B") + P("-C")P(A|"-C")
= P("-B")(P(A)P("-B"|A)/P("-B")) + P("-C")(P(A)P("-C"|A)/P("-C"))
= P(A)P("-B"|A) + P(A)P("-C"|A)
= P(A) (∵ P("-B"|A)+P("-C"|A)=1)

 選択を変えて当たる確率
= P("-B")P(C|"-B") + P("-C")P(B|"-C")
= P("-B")(P(C)P("-B"|C)/P("-B")) + P("-C")(P(B)P("-C"|B)/P("-C"))
= P(C)P("-B"|C) + P(B)P("-C"|B)
= P(C) + P(B) (∵ P("-B"|C)=1、P("-C"|B)=1)

 「選択を変えず当たる確率」は「P(A)」(Aが当たる事前確率)になり「選択を変えて当たる確率」は「P(C) + P(B)」(A以外が当たる事前確率)になる。「プレーヤーが選ばなかったドアのどちらかヤギがいる方をモンティが開けてもプレーヤーが選んだドアの後ろに景品がある確率は変わらない」とはこのことを指しているのかもしれない。

 三囚人問題、変形三囚人問題では「P(A|"-B")」と「P(C|"-B")」を比較するのに対して、モンティ・ホール問題における議論では「P("-B")P(A|"-B") + P("-C")P(A|"-C")」と「P("-B")P(C|"-B") + P("-C")P(B|"-C")」を比較しているのかもしれない。各プレーヤーは司会者がBかCを開けた後に判断を迫られるので三囚人問題や変形三囚人問題のように考えなければいけないのだが、モンティ・ホール問題の戦略を議論する際には司会者がBとCのどちらを開けるか分からない状態で選択を変えない方が良いのか変えた方が良いのか二者択一の議論をしているのかもしれない。


参考文献
(1)「考えることの科学〜推論の認知心理学への招待〜」(市川伸一著、中公新書)
(2)「確率の理解を探る〜3囚人問題とその周辺〜」(市川伸一著、共立出版)


これまでの「三囚人問題、モンティ・ホール問題(モンティ・ホール・ジレンマ)」関連記事

【三つの扉、三枚の封筒】
【三囚人問題の図解】
【変形三択問題】
【三囚人問題と変形三囚人問題】
【金の玉はどこだ!問題】
【モンティ・ホール問題】
【モンティ・ホール問題の解法】
【Nドア問題の解法】


追記(2006/9/20):
 表計算ソフトを使ってシミュレーションするのなら…。
 【金の玉はどこだ!問題】の追記に載せたものを少しバージョンアップしました。
追記(2007/3/21):少し使いやすくしたExcelのファイルを作ってみました。興味のある方は【ここ】に入って【MontyHall.xls】をクリックしてみてください。Excel97で作ったので最新のExcelで動作するかどうか分かりません。【直リンク】
---
以下は「AppleWorks 6」を使ったシミュレーション方法。
(注意:Excelとは乱数の発生方法、検索文字列のカウント命令、範囲の表し方が異なります。その他にも異なる部分があるかもしれません。)
---
プレーヤーの箱の選択を固定して2000回(2000行)計算
---
B11=回数(=1〜2000)
C11=乱数、当たりのカプセル(=1〜10、=RAND(10)=1〜10)

D11=当たりの箱
=IF(OR(C11=1,C11=2,C11=3,C11=4),1,IF(OR(C11=5,C11=6,C11=7,C11=8),2,IF(OR(C11=9,C11=10),3,"")))

E11=プレーヤーの最初の箱の選択(=1、2、3)

F11=司会者の開けた箱(注意:乱数使用、RAND(2)=1,2)
=IF(AND(E11=1,D11=1),RAND(2)+1,IF(AND(E11=2,D11=2),RAND(2)*2-1,IF(AND(E11=3,D11=3),RAND(2),IF(E11+D11=3,3,IF(E11+D11=4,2,IF(E11+D11=5,1,""))))))

G11=再選択した箱(注意:乱数使用、RAND(2)=1,2)
=IF(RAND(2)=1,E11,6-E11-F11)

H11=当落(再選択した箱で確認)
=IF(G11=D11,"○","×")

I11=変更なしの場合を抽出
=IF(E11=G11,H11,"")

J11=変更ありの場合を抽出
=IF(E11=G11,"",H11)

K11=司会者が箱1を開けて変更なしの場合を抽出
=IF(AND(E11=G11,F11=1),H11,"")

L11=司会者が箱1を開けて変更ありの場合を抽出
=IF(F11=1,J11,"")

M11=司会者が箱2を開けて変更なしの場合を抽出
=IF(AND(E11=G11,F11=2),H11,"")

N11=司会者が箱2を開けて変更ありの場合を抽出
=IF(F11=2,J11,"")

O11=司会者が箱3を開けて変更なしの場合を抽出
=IF(AND(E11=G11,F11=3),H11,"")

P11=司会者が箱3を開けて変更ありの場合を抽出
=IF(F11=3,J11,"")
---
上の計算結果のカウント
---
H7=○の数(全2000回)=COUNT2("○",H11..H2010)
H8=×の数(全2000回)=COUNT2("×",H11..H2010)
H5=○の率(全2000回)=H7/(H7+H8)
H6=×の率(全2000回)=H8/(H7+H8)

I7=○の数(変更なしの場合)=COUNT2("○",I11..I2010)
I8=×の数(変更なしの場合)=COUNT2("×",I11..I2010)
I5=○の率(変更なしの場合)=I7/(I7+I8)
I6=×の率(変更なしの場合)=I8/(I7+I8)

J7=○の数(変更ありの場合)=COUNT2("○",J11..J2010)
J8=×の数(変更ありの場合)=COUNT2("×",J11..J2010)
J5=○の率(変更ありの場合)=J7/(J7+J8)
J6=×の率(変更ありの場合)=J8/(J7+J8)

K7=○の数(司会者が箱1を開けて変更なしの場合)=COUNT2("○",K11..K2010)
K8=×の数(司会者が箱1を開けて変更なしの場合)=COUNT2("×",K11..K2010)
K5=○の率(司会者が箱1を開けて変更なしの場合)=K7/(K7+K8)
K6=×の率(司会者が箱1を開けて変更なしの場合)=K8/(K7+K8)

L7=○の数(司会者が箱1を開けて変更ありの場合)=COUNT2("○",L11..L2010)
L8=×の数(司会者が箱1を開けて変更ありの場合)=COUNT2("×",L11..L2010)
L5=○の率(司会者が箱1を開けて変更ありの場合)=L7/(L7+L8)
L6=×の率(司会者が箱1を開けて変更ありの場合)=L8/(L7+L8)

M7=○の数(司会者が箱2を開けて変更なしの場合)=COUNT2("○",M11..M2010)
M8=×の数(司会者が箱2を開けて変更なしの場合)=COUNT2("×",M11..M2010)
M5=○の率(司会者が箱2を開けて変更なしの場合)=M7/(M7+M8)
M6=×の率(司会者が箱2を開けて変更なしの場合)=M8/(M7+M8)

N7=○の数(司会者が箱1を開けて変更ありの場合)=COUNT2("○",N11..N2010)
N8=×の数(司会者が箱1を開けて変更ありの場合)=COUNT2("×",N11..N2010)
N5=○の率(司会者が箱1を開けて変更ありの場合)=N7/(N7+N8)
N6=×の率(司会者が箱1を開けて変更ありの場合)=N8/(N7+N8)

O7=○の数(司会者が箱3を開けて変更なしの場合)=COUNT2("○",O11..O2010)
O8=×の数(司会者が箱3を開けて変更なしの場合)=COUNT2("×",O11..O2010)
O5=○の率(司会者が箱3を開けて変更なしの場合)=O7/(O7+O8)
O6=×の率(司会者が箱3を開けて変更なしの場合)=O8/(O7+O8)

P7=○の数(司会者が箱1を開けて変更ありの場合)=COUNT2("○",P11..P2010)
P8=×の数(司会者が箱1を開けて変更ありの場合)=COUNT2("×",P11..P2010)
P5=○の率(司会者が箱1を開けて変更ありの場合)=P7/(P7+P8)
P6=×の率(司会者が箱1を開けて変更ありの場合)=P8/(P7+P8)
---
以上。
乱数の範囲(C11)と当たりの箱(D11)への入れ方を変えることで各箱や各ドアの当たりの確率や各囚人の釈放される確率を変えることができます。
---
「AppleWorks 6」の「RAND(10)」「RAND(2)」「COUNT2」「H11..H2010」等はExcelでは次のように変えます。
「RAND(10)」→「INT(RAND()*10+1)」
「RAND(2)」→「INT(RAND()*2+1)」
「COUNT2("○",H11..H2010)」→「COUNTIF(H11:H2010,"○")
---


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p

はじめまして。
モンティホールジレンマに最近興味を持って、いろいろ参考にさせていただきました。

「モンティがドアを開けても、その確率は変わらない」は、私は自明のこととして受け取っています。

A:1/4、B:1/4、C:2/4の変形モンティの場合を考えます。
Aの扉を選んで当選する確率は1/4です。
「確率が1/4」とは、4回繰り返せば1回当選するであろうと思われるということです。
一人の人がこのテレビ番組に4回出演し、毎回Aの扉を選び続けたなら、そのうち1回は当たるであろうということです。

では、この人がAの扉を選び続け、モンティが残りのドアのうちひとつを開け、選択を変更しなかったとしましょう。
この場合ドアを開けたことが、何がしかの影響を与えますか?
ドアを開けようがあけまいが、確率は変わりません。
4回出演すれば1回当たる確率なはずです。
もっと言うと、もしも残りのドアを両方開けたとしても、選択を変更しなければ当選確率は変わりません。
選択はすでに決定しているのだから、ドアを開ける、開けないといった事柄は当選確率には影響しません。

私はこれで正しいと思いますが、いかがでしょうか。
by p (2007-10-14 05:46)

p

しつこいようですが、少し補足します。

もしモンティ問題の最後に
「なお扉は週によって色が異なり、50%の確率で赤か青に変更される。」
とあったらどうでしょうか。
つまり週によって扉が赤い週と青い週があるわけです。
このことが当選確率に影響するでしょうか?

するわけありません。
もし問題に上記のような一文がついていたとしても、確率を考える上でまったく無視していいはずです。

ではモンティ問題を少し変更して
「出演者が扉を選んだあと、モンティは残りの二つの扉のうちヤギの扉を開く可能性があります。モンティが扉を開く可能性は50%です。出演者は選択肢を変更することは出来ません」
としたらどうでしょう。
週によって扉を開く週と開かない週があるわけですが、それが当選確率に影響しますか?

そう、影響するわけがないのです。
つまりモンティが扉を開こうが開くまいが、そんなことは当選確率とはまったく無関係なことなのです。
よってモンティが開く扉を場合分けするなどという必要はどこにもなく、ナンセンスです。
「モンティがドアを開けても、その確率は変わらない」は、自明なのです。
by p (2007-10-14 06:40)

正己

pさん、コメントありがとうございます。
http://groups.yahoo.co.jp/group/selfmirror7777/files/MontyHall.xls
で実際はどうなるかを確認してみてください。
使い方は、なんとなく想像できると思います。
また、モンティ・ホール問題を理解するには、「事後確率」について理解する必要があると思います。
言葉で説明するのは難しいです。御期待に応えられなくて申し訳ありません。m(_ _)m
by 正己 (2007-10-14 07:38)

p

返信ありがとうございます。
エクセルファイル、開いてみましたが複雑すぎるのでとりあえず保留させてください。
正己さんが私なんかよりも様々なことに思いをめぐらせているのはわかります。
しかし、たぶんそれが落とし穴です。
複雑に考えすぎているのではないでしょうか。
私が上記したことはモンティ問題の一部に過ぎませんが、少なくともこの一部分は間違いなく正しいはずです。
モンティがドアを開けようが開けまいが、確率は変わりません。
自明ですからエクセルなどまったく必要としません。
囚人問題とは考え方が違います。
恐らく発想の転換が必要なのではないでしょうか。
by p (2007-10-14 08:13)

p

補足ですが、私が上記した「最初に選択したドアを変更しなかった場合」を考えるために、事後確率を理解する必要はないと思われます。
事後確率などまったく関係ないからです。
by p (2007-10-14 08:19)

正己

pさん、引き続きコメントありがとうございます。
エクセルのファイルは簡単ですのでお試しください。
「変形モンティ・ホール問題」では「玉の数」の所をA,B,Cの順に1,1,2とします。それだけです。求めている答えは「M12」のセルと「N12」のセルの比較です。pさんが仰っているのは「I12」のセルと「J12」のセルの比較のことではないかと思われます。
言葉で説明すると厳密性に欠けて、誤解されたり間違ってしまうことがあるのですが、あえて、言葉で説明すると、
「神様から見た確率」あるいは「神様が決めた確率」

「ヒントをもらったプレーヤーにとっての確率」
との違いではないかと思います。
pさんが仰っているのは「神様から見た確率」のことではないかと思われます。これは仰るとおり、変わりません。
しかし、モンティ・ホール問題で問われているのは「ヒントをもらったプレーヤーにとっての確率」です。プレーヤーは神様が決めた確率なんか分からないのですから、ヒントをもとに推測するしかありません。ヒントが無ければ神様が決めた確率と同じになります。ヒントをもらったことで、当てやすくなっている。それがモンティ・ホール問題だと思います。
ヒントの重要性は理解していただけると思います。
例えばさいころの目を当てる際に、ヒントが無い状態と「偶数だよ」というヒントをもらった後とでは当たる確率が変わると思います。
そのような違いだと思ってください。
by 正己 (2007-10-14 09:06)

p

丁寧な返信ありがとうございます。
エクセル、ひとまず拝見しました。
正己さんのおっしゃってることは理解しているつもりですが、間違いがあればご指摘ください。

まず「ヒント」という言葉が登場しましたが、私はこの言葉はこの問題にふさわしいと思っていません。
「選択しなかった二つの扉のうち、ヤギの扉を開く」というのは、「ヒント」ではなく「ルール」と考えるべきです。
このルールに則った上での確率を求める必要があるのです。

また「神様の確率」「プレイヤーの確率」という言葉が登場しましたが、プレイヤーがこのルールを知っていて確率の計算が出来る以上、その二つが異なることはありえません。

もしかして正己さんは、プレイヤーはそのルールを知らないとお考えですか?
もしそうならば、話が違ってくる可能性があります。
私は、当然プレイヤーはそのルールを知っているという認識で話しています。
つまり、プレイヤーはモンティ問題の問題文自体を知っているという認識です。
それ以外に考えようがないと思うのですが、どうでしょうか。
by p (2007-10-14 09:54)

p

しつこくなって申し訳ないのですが、補足と言うか確認をします。

この問題において求めるべきは、番組に出場したプレイヤーが景品を持ち帰れる確率です。
ある扉を選択した後に、ルールによってヤギの扉が開かれた後の当選確率ではありません。
by p (2007-10-14 10:03)

正己

pさん、引き続き、コメントありがとうございます。
プレーヤーはルールを知っていることが前提です。
そして、この問題は「プレーヤーは選んだ扉を変えるべきか否か」であり、求めなければいけないのは、変えた場合に当たる確率と変えない場合に当たる確率です。そして、その前提として、プレーヤーがA、B、Cの扉のうちAという扉を選び、司会者がプレーヤーの選んだ扉Aと当たりである扉を避けてBの扉を開け、そのBの扉がハズレであることが確認された、という事実です。プレーヤーの再選択はその後になり、Aが当たりである確率とCが当たりである確率を比較します。ちなみに、その時点でBが当たりである確率は1/3から0に減少しています。
私はそのように理解しています。
by 正己 (2007-10-14 11:52)

p

度々ありがとうございます。
少々しつこいと思われるかもしれませんが、私なりの確信を持って書いているので、お付き合い願えたら幸いです。

私も正己さんの認識とほぼ同様の認識をしています。
が、やはり微妙に違うようです。

最初の時点での扉Aの当選率をa、扉Bの当選率をb、扉Cの当選率をcとします。
(恐らく一般的な記述ではないと思いますが、ご勘弁ください)
そしてプレイヤーがAの扉を選択し、モンティによってヤギの扉(BかC)が開かれたとします。
この時点での扉Aの当選率をa'、扉Bの当選率をb'、扉Cの当選率をc'とします。
この確率は、当然最初の確率とは違っている可能性があります。

ここで「この問題の答えとなるべき賞品の獲得率」について考えます。
選択を変えない場合の獲得率はどのくらいでしょうか?
おそらく正己さんはa'であるはずだと考えられているのではないでしょうか。
ここが違う部分で、私はaだと考えています。
A以外の扉が当選する確率は1-a(=b+c)です。
ここが囚人問題と違うところだと思います。

囚人問題では「Bは死刑だ、と知った後の時点での確率」を求めます。
Bの死刑が判明しているので、最初の確率から変化している可能性があります。
モンティ問題にはそのような記述はなく、単純に景品の獲得率の違いを求めるだけです。
「Bの扉がヤギだったと知った後の時点での確率」を求めるのではないのです。
「Bが開かれるかもしれないし、Cが開かれるかもしれない。それを考慮した上での確率」と言ってもいいと思います。
「もしBが開かれたら選択を変更しよう。Cが開かれたら変更しないでおこう」といった意図をプレイヤーがはさむことは出来ません


答えるべきなのは「選択を変えたほうが得なのかどうか。そしてそれぞれの確率はいくらか」です。
「Bの扉が開かれた場合は、変えたほうが得である」などという解答は成り立ちえません。
問題では扉が開かれた後に変更するかどうかを選択するとなっていますが、ある意味ここが引っ掛けになっているのでしょう。
変更を決定する時点がいつであろうと、求めるべき解答は確率が変わる前の、最初の確率なのです。

試しに囚人問題を以下のように変更してみます。

A、B、Cの3人の囚人がいる。
その中から1名を生存者とし、残り二人は死刑にするものとする。
生存者が決定された後、囚人Aのみ
「自分以外の二人のうち、死刑になるものの名前」を聞くことが出来る。
囚人Aが死刑になる確率はどの程度か?

答えは1/3です。
変形であれば1/4です。
1/5ではありません。
もし「自分以外で死刑になると聞かされていない囚人と立場を交換できる権利を与えられたら、交換するべきか」という問いがつい

ていたとしたら、モンティ問題とまったく同じ解答になると思います。

どうにもつたない文章で申し訳ないのですが、ご指摘があればお願いいたします。
by p (2007-10-14 13:23)

p

モンティ問題を変更するとこんな感じです。

プレイヤーは、三つのドアを見せられる。ドアの一つの後ろにはプレイヤーが獲得できる景品があり、一方、他の二つのドアにはヤギ(景品がなく、ハズレであることを意味している)が入っている。ショーのホストは、それぞれのドアの後ろに何があるか知っているのに対し、もちろんプレイヤーは知らない。
プレイヤーが扉を選択をした後、ホストのモンティは3つすべての扉を開く。ヤギと景品がどの扉に入っているのかが明らかになる。プレイヤーは選択を変更することは出来ない。
プレイヤーの当選率はどの程度か。

答えは言うまでもないと思います。
by p (2007-10-14 13:50)

正己

pさん、引き続き、コメントありがとうございます。
問題の解釈が違ってくると、答も違ってくると思います。
pさんの解釈ではpさんの答が正しいかもしれません。
でも、私は問題をpさんのように解釈していません。
ですから、pさんに納得してもらえる回答を提供できないと思います。
ご了承ください。m(_ _)m
by 正己 (2007-10-14 13:54)

p

それでは正己さんはどのような解釈なのでしょうか?
私の解釈以外に、解釈のしようがないと思うのですが。
正己さんの解釈では、ひとつ上に書いた変更済みモンティ問題の解答はどうなりますか?
by p (2007-10-14 14:05)

正己

pさん、私の解釈は上のコメント欄に書いた通りです。もう一度書くと次の通りです。

プレーヤーはルールを知っていることが前提です。
そして、この問題は「プレーヤーは選んだ扉を変えるべきか否か」であり、求めなければいけないのは、変えた場合に当たる確率と変えない場合に当たる確率です。そして、その前提として、プレーヤーがA、B、Cの扉のうちAという扉を選び、司会者がプレーヤーの選んだ扉Aと当たりである扉を避けてBの扉を開け、そのBの扉がハズレであることが確認された、という事実です。プレーヤーの再選択はその後になり、Aが当たりである確率とCが当たりである確率を比較します。ちなみに、その時点でBが当たりである確率は1/3から0に減少しています。
私はそのように理解しています。

続きまして、pさんの次の問題について考えます。

プレイヤーは、三つのドアを見せられる。ドアの一つの後ろにはプレイヤーが獲得できる景品があり、一方、他の二つのドアにはヤギ(景品がなく、ハズレであることを意味している)が入っている。ショーのホストは、それぞれのドアの後ろに何があるか知っているのに対し、もちろんプレイヤーは知らない。
プレイヤーが扉を選択をした後、ホストのモンティは3つすべての扉を開く。ヤギと景品がどの扉に入っているのかが明らかになる。プレイヤーは選択を変更することは出来ない。
プレイヤーの当選率はどの程度か。

この問題の答は1/3になると思います。変形モンティホール問題のようにA,B,C各々の確率を1/4,1/4,1/2とすれば、Aが当たりである確率は1/4になると思います。

pさんの問題の「明らかになる。」の後に次の文章を加えたとします。
「プレーヤーが選択した扉はハズレであった。」
すると答(当たる確率)は「0」になります。
また、同様に「プレーヤーが選択した扉は当たりであった。」を加えたとします。
すると答は「1」になります。
by 正己 (2007-10-14 15:32)

NO NAME

私の作成した問題に解答いただき、ありがとうございます。
解答である確率の数値に関して、私も正己さんと同意見です。
それではその「1/3」「1/4」といった数値は、どこから出てきたのでしょうか?
本来のモンティの問題においても、解答自体に疑問の余地はないですよね?
問題は「なぜそうなるか」だと思います。
なぜそうなるのか?

それは、最初に設定された当選確率がその数値であり、この問題において問われているのはまさにその数値だからです。
「確率変化後の確率」を問われている囚人問題とはここが根本的に違います。

> pさんの問題の「明らかになる。」の後に次の文章を加えたとします。

ここで正己さんが新たに作られた問題の答えは、正己さんのおっしゃる通りだと思います。
しかし私の作った問題にはそのような一文はありません。
つまりプレイヤーの扉が当選したのかどうか、問題文から判断のしようがないのです。
問題文では「明らかになる」と書いてあるのでさも明らかになったような気になってしまいますが、実はまったく明らかになどなっていません。
ここまでは間違いないですね?

ではこの問題文から、当選確率を推し測るにはどういう手段が考えられますか?
「明らかになる前」の確率で考える以外にないのです。
明らかになった後の確率は考えようがないのですから当然です。
もしあえて明らかになった後の確率で考えようとするなら、「もし当選したなら当選確率は1である。当選しなかったなら当選確率は0である。」というふうに場合分けして答える以外にありません。
明らかになった後=確率が変化した後には、1という確率か0という確率しか存在しません。
1/3(1/4)という確率が導き出されるのは、最初の設定から以外にありえるでしょうか?
絶対にありえません。
そしてこのような場合分けをした解答が解答としてふさわしいかどうかは考えるまでもないと思いますし、第一問題を普通に解釈すれば、問われているのは変化後の確率ではないということがわかるはずです。
この問題において答えるべきなのは、確率が変化した後の確率ではなく、あくまで「このゲームにおいてプレイヤーが景品を獲得しうる確率」です。
ここを間違えないでください。

> 司会者がプレーヤーの選んだ扉Aと当たりである扉を避けてBの扉を開け、そのBの扉がハズレであることが確認された、という事実です。

正己さんと私の問題の認識の違いはここです。
プレイヤーがAという扉を選んだことまでは間違いありませんが、その後「Bの扉が開かれBの扉がハズレであることが確認され」てなどいません。
最初に選んだ扉がAであるとすることには問題ありませんが、開かれる扉はBなのかCなのか、問題文からは判断できません。
A、B、Cの当選確率が同じならどちらが開かれても問題ありませんが、当選確率が違う場合には「どちらの扉が開かれたか」によって変化後の確率は影響を受けます。

極端な変形モンティとして、A:1/100、B:1/100、C:98/100である場合などを考えてみてください。
Bの扉が開かれた場合とCの扉が開かれた場合で、選択を変更した場合の確率の差は明らかに違います。
開かれた扉がBであれば、当選はほぼCで決まりでしょう。
開かれた扉がCであれば、そこまで言い切ることは出来ないと思います。
つまり「変更したとしたらどれだけ得か」は、開かれた扉がBだったかCだったかによって変化するのです。

先ほどから書いているように、問題文ではBとCのどちらが開かれたのか判断できません。
BかもしれないしCかもしれません。
だから変化後の確率では、その確率の差を一つの「数値」として表すことはできません。
どうしても変化後の確率で答えるというなら、場合分けして答えるしかないはずです。
変化後の確率は知りようがないのですから、この問題の解答としては変化する前の確率以上にふさわしい答えはありません。

重ねて書きますが、問題文には「確率が変化した後の確率を求める」ことを示唆するような文章はありません。
囚人問題では「Bは死刑だと聞いた後の確率を求めよ」と書いてありますが、モンティ問題は「Bの扉が開かれた後の確率を求めよ」とは書いてありません。

どうにもすっきりと書けていなくて申し訳ありませんが、いかがでしょうか?
もし私の解答に納得いかないようでしたら、正己さんが私の作った変更済みのモンティの答えを「1/3(変形なら1/4)」と解答された理由をお聞かせください。
by NO NAME (2007-10-14 20:52)

NO NAME

すいません、上の私のレスの中に記述ミスを発見しました。

> プレイヤーがAという扉を選んだことまでは間違いありませんが

これは誤りです、すいません。
プレイヤーがどの扉を選択したかはわからないのです。
AかもしれないしBかもしれないしCかもしれません。

もうひとつ、極端な変形モンティとして
A:98/100、B:1/100、C:1/100の場合を考えてみてはどうでしょう。
このモンティにおいてもし最初にAの扉を選んだ場合、選択を変更したほうがいいと思いますか?
by NO NAME (2007-10-14 21:02)

p

度々申し訳ないです。
ここも間違っています。

> ここで正己さんが新たに作られた問題の答えは、正己さんのおっしゃる通りだと思います。

これは「確率が変化した後の当選確率」を問われている場合ですね。
私の作った問題ではそこが曖昧でしたので、どちらとも取れてしまうかもしれません。
ただ、私の作ったオリジナルの問題においては、確率変化後の確率は求めようがないので、変化する前の確率を問われていると解釈するのが正しいかと思います。
問題が少し曖昧でしたね、すいません。
by p (2007-10-14 21:19)

正己

pさん、引き続き、コメントありがとうございます。
pさんの指摘したいことは、私のこのエントリーに似ていると思いました。
難しく考えるのは嫌でしょうが、難しく考えてもpさんの答と同じ確率になります。場合分けして、あり得るケースを全て足すと、pさんの答になります。変形モンティホール問題でも同じです。コメント欄のpさんの問題もそのようにして自分の解答を確認しました。
ベイズの定理を勉強している時に出て来る表現を使うと、「新たな情報が入らなければ確率は変わらない」ということです。
ここで、モンティ・ホール問題についてのpさんと私の解釈の違いが出てきます。
pさんは問題文を読んで、新たな条件がないと解釈したのだと思いますが、実際に選択を迫られているプレーヤーにとっては、自分がどの扉を選んで、司会者がどの扉を開けて、その扉がハズレであることが明らかなのです。すなわち、新たな条件が得られているのです。だから、確率が変わるのです。それが、コメント欄の上の方で書いた、『「神様から見た確率」あるいは「神様が決めた確率」と「ヒントをもらったプレーヤーにとっての確率」との違い』ということなのです。
そこで、問題文の解釈が違うpさんと私とでは同じ解答が得られなくなるのです。
pさんの仰っていることはとても重要なことだと思いますので、ブログに書いてモンティ・ホール問題について言及しているあちらこちらのブログにトラックバックすることをお勧めします。(^_^)
by 正己 (2007-10-14 23:39)

p

返信ありがとうございます。
そうですね、問題の解釈のしかたの話なのです。
「実際に選択を迫られてるプレイヤーにとっては確率は変わっている」、これはその通りです。

しかしそうだとすると、私の作った「すべての扉が開かれる」問題では、プレイヤーにとっての確率は1か0しか存在しません。
その時点でプレイヤーは自分の選んだ扉が当選だったのかそうでなかったのかを知っています。
そしてその選択は変えることが出来ません。
そのプレイヤーにとっての確率は1/3になど決してなりません。
(この問題の最後を「プレイヤーは選択をしなおすことが出来る。選択を変えるべきか?」としてみたらわかりませんか?」)

また極端な変形モンティの場合、もし最初に選んだ扉が98/100なのであれば、そのプレイヤーにとって選択を変更することが得である場合など存在しません。
残りのどちらの扉が開かれようが、そのプレイヤーにとっては「選択を変更しないほうがよい」という答えしか導き出しようがないのです。

つまり、この問題においては個別の状況における確率(プレイヤーにとっての確率)を考慮することにはまるで意味がなく、全ての状況において通用する確率(神様の確率)を求める必要があるのです。

「あなたは問題の解釈を間違っている」
私が言いたかったことを一言で言うとこうなるので、もし正己さんの問題の解釈がどうやっても変わらないのであれば私にはこれ以上言うことはありまん。
個人的な意見を押し付けているように感じられてると想像しますのでご不快かとは思いますが、私にとっては正己さんのような聡明な方がなぜこの単純な事実にお気づきにならないのかが逆に不思議なのです。
その辺りが、有名な数学者でさえも誤答したという所以なのかもしれませんね。

私はブログを持っていないので、トラックバックは出来ません。
本来は自分のブログに書くべき内容だったのかもしれませんが、正己さんは私が見た中では一番この問題に関心を寄せられているようだったので、こちらにコメントさせていただきました。
by p (2007-10-15 21:38)

p

なお、場合分けをして考えても答えは同じとのことですが、私は場合分けをして考えること自体をナンセンスだと感じています。
もちろん場合分けしてもかまいませんが、まったく意味がありません。
それは最初のほうで書いた「扉の色が週によって変わる」問題に書きました。
扉の色によって場合分けして考えたければ考えてもいいのですが、それはまったく無意味・無駄なのです。
by p (2007-10-15 22:27)

p

「場合分けは無意味・無駄」がお気に触ったかもしれません。
私が言いたかったのは「この問題を解答する上では必要ない」という意味です。
この問題を深く考える意味で、場合分けして考えて理解を深めることは無駄でもなんでもなく、有意義なことであると思います。
by p (2007-10-15 22:37)

正己

pさん、引き続き、コメントありがとうございます。
pさんの努力の応えることができず申し訳ないのですが、
私は解釈を変えるつもりはございません。
しかし、pさんの解釈を変えるつもりもございません。
各々の解釈で、各々の解き方をしていけば良いと思います。
なお、Wikipediaの記述は誰もが自由に変更できるようです。
ブログをお持ちでないのなら、
pさんの意見をWikipediaに付け加えてはいかがかと思います。
それでは、ご意見、どうもありがとうございました。m(_ _)m
by 正己 (2007-10-16 00:13)

p

返信ありがとうございます。
長々とお付き合いいただき、ありがとうございました。

最後にひとつ、私の考え方を紹介させていただきます。
お時間がおありでしたら、以下の(A)~(I)の質問にYesかNoで答えてみてください。
レスは必要ありません。
レスがあれば私もレスをいたしますが、どうもこれ以上は不毛のようです。
私の答えは全てYesです。

Wikipediaの件、アドバイスありがとうございます。
Wikipediaを編集した経験がないのですが、検討してみます。

では、失礼します。

********************

基本状況:
3つの扉の後ろに、景品がひとつ、ヤギがふたつがそれぞれ置かれる。
プレイヤーは3つの扉からひとつ選ぶ。

(A) 基本状況においてプレイヤーの当選確率は1/3(変形であれば最初に設定された確率)であることは自明である。
(B) 基本状況においての当選発表の方法は、モンティ(ホスト)が全ての扉を開いてプレイヤーに示す方法がとられるとする。
この場合、当選発表で扉を開く行為が当選確率に影響しないことは自明である。
(C) Bに示した状況は、私が作った「モンティが全ての扉を開いた場合」の問題と同様の状況であり、扉を開いたことによって当選確率が影響を受けないこともまた同様である。
(D) Cに示した状況において、扉を全て同時に開いたとしても1枚ずつ順番に開いたとしても、そのことが当選確率に影響しないことは自明である。
(E) Dにおいて、もし扉を1枚開いたところでやめて、残りは開かなかったとしても当選確率に影響しないことは自明である。
(F) Eにおいて、開いた扉が景品の扉であってもヤギの扉であっても、そのことが当選確率に影響しないことは自明である。
(G) つまりFにおいて、開いた扉がヤギである事実は当選確率に影響しないことは自明である。
(H) 基本状況において、プレイヤーが扉を選択した後にモンティが扉をひとつ開き、その扉がヤギであった事実は当選確率に影響しないことは自明である。
(I) モンティ問題において、プレイヤーが最初の選択を変えなければ、モンティが扉を開こうが開くまいがそれが当選確率に影響しないことは自明である。
by p (2007-10-16 00:38)

正己

pさん、熱心なコメント、ありがとうございました。
by 正己 (2007-10-16 07:18)

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